Виктор Александрович Приклонский родился 26 января (7 февраля) 1899 г. в Москве в семье учителей средней школы. Отец незадолго до смерти (1914) получил личное дворянство, которое на членов семьи не распространялось. У Виктора Александровича были брат Анатолий и сестра Любовь.
В 1908 г. Виктор Приклонский поступил в 10-ю Московскую гимназию, которую окончил в 1916 г. с серебряной медалью. С 1916 по 1920 гг. учился в 1-м Московском университете на факультете общественных наук (этнолого-лингвистическое отделение), одновременно работая учителем в школах первой ступени Замоскворецкого района Москвы.
С октября 1919 г. по май 1920 г. был рядовым 1-го Западного стрелкового полка МВО в Красной Армии, откуда был откомандирован в Московскую горную академию, которую окончил в 1928 г. по геологоразведочному факультету с дипломом горного инженера. Дипломная работа под названием «Геологическое строение Мильской степи и прилежащей части Нагорного Карабаха и их водоносность» была признана квалификационной комиссией серьезной научной работой.
Не имея достаточных средств к существованию, еще студентом Горной академии он начал работать коллектором, затем геологом в съемочных партиях. В 1925–1930 гг. работал в Закавказье сначала начальником гидрологической партии Комиссии СТО по обследованию Закавказья, затем старшим геологом Управления по составлению водного плана при Совнаркоме ЗСФСР.
В 1930 г. Виктор Приклонский перешел на постоянную работу в Московский геологоразведочный институт, последовательно занимая должности ассистента (1930–1933 гг.), доцента (1933–1950 гг.) и профессора (1950–1959 гг.) кафедры гидрогеологии и инженерной геологии. С 1932 по 1935 гг. был деканом геологического факультета МГРИ. В 1931–1932 гг. руководил геологическими, гидрогеологическими и инженерно-геологическими работами по трассе канала им. Москвы в качестве начальника комплексной экспедиции Московского геологоразведочного института.
В МГРИ Виктор Александрович читал курсы лекций по гидрогеологии и инженерной геологии, а также руководил подготовкой аспирантов. Им был введен новый курс лекций «Грунтоведение», опубликованный в 1943 г., который освещал свойства глинистых пород с точки зрения коллоидно-химических представлений, а не капиллярной теории, как это было принято ранее.
В 1934 г. в связи с начавшимся переездом учреждений АН СССР в Москву был приглашен на работу в Геологический институт в качестве ученого специалиста отдела гидрогеологии. После ликвидации этого отдела был утвержден ученым секретарем Комиссии по гидрогеологии при Отделении геолого-географических наук (1939–1943 гг.), а с 1944 по 1957 гг. (после ликвидации Комиссии) был старшим научным сотрудником Лаборатории гидрогеологических проблем при Отделении геолого-географических наук АН СССР. Тематика работы учёного в Лаборатории была связана с изучением гидрогеологических условий засушливых областей и проблем грунтоведения.
С 1955 г. Виктор Александрович занимал должность заместителя директора, а с 1957 г. до конца жизни – директора Лаборатории гидрогеологических проблем АН СССР.
В 1935 г. Виктору Александровичу Приклонскому была присуждена ученая степень кандидата геолого-минералогических наук без защиты диссертации по представлению Геологического института АН СССР. В 1950 г. он защитил диссертацию «Основные современные проблемы грунтоведения», и решением ВАК от 5 мая 1951 г. ему была присуждена ученая степень доктора геолого-минералогических наук.
В период Великой Отечественной войны Виктора Приклонский работал сначала в Бюро военной геологии при Моссовете, а затем в Семипалатинске исполнял обязанности доцента МГРИ. Им была выполнена большая работа по строительству оборонительных сооружений в Москве.
Основные труды Виктора Александровича посвящены гидрогеологии и инженерной геологии. Ученый предложил инженерно-геологическую классификацию горных пород и схемы последовательного формирования инженерно-геологических свойств осадочных пород, установил ряд закономерностей диффузии солей в глинистых породах, что имеет значение для решения проблемы формирования подземных вод и глинистых осадков.
Заслугой Приклонского в области литологии является разработанное им новое направление в изучении инженерно-геологических свойств горных пород.
В течение 1930–1940-х гг. Виктор Приклонский участвовал в многочисленных экспедициях Госплана СССР и стройках пятилеток в качестве эксперта (гидроузлы на Волге, Каме, Дону, Оке, Куре и других реках, каналы Москва — Волга и Волга – Дон, Манычском канале, орошаемые земли Закавказья, при строительстве Московского метрополитена и Дворца Советов и т.д.).
Виктор Приклонский вел научную работу в системе учреждений Министерства геологии СССР. В 1951 г. Ему была присуждена премия АН СССР им. Ф. П. Саваренского за выдающиеся работы в области гидрогеологии и инженерной геологии, а в 1952 г. – Сталинская премия III степени за создание методического руководства по инженерно-геологическим исследованиям для гидроэнергетического строительства.
Учёный награжден орденом Трудового Красного Знамени (1951 г.) и медалями: «За оборону Москвы» (1944 г.), «За доблестный труд в Великой Отечественной войне 1941–1945» (1945 г.), «800-летие Москвы» (1946 г.).
Виктор Александрович Приклонский скончался 13 февраля 1959 г. в Москве.